куля

Вправа. Опрацювати теоретичний матеріал

Куля

Кулею називається тіло, що складається із всіх точок простору, що знаходяться на відстані, не більшій даної, від даної точки (рис. 48). Ця точка називається центром кулі, а дана відстань радіусом кулі.

Границя кулі називається кульовою поверхнею, або сферою. Таким чином, точками сфери є всі точки кулі, які віддалені від центра на відстань, яка рівна радіусу. Будь-який відрізок, що з'єднує центр кулі із точкою кульової поверхні, також називається радіусом.

Рис. 48	Рис. 49

Відрізок, що з'єднує дві точки кульової поверхні й проходе через центр кулі, називається діаметром. Кінці будь-якого діаметра називаються діаметрально протилежними точками кулі.

Куля, так само як циліндр і конус, є тілом обертання. Він виходить при обертанні півкола навколо його діаметра як осі (рис. 49).

зрізаний конус

Вправа. Розглянути теоретичний матеріал

Зрізаний конус

• 1

Зрізаним конусом називають частину конуса, що лежить між основою і площиною, паралельною основі.

Основи зрізаного конуса є основа цього конуса і круг, що одержали у перерізі.
Висота зрізаного конуса — це перпендикуляр, проведений із точки однієї основи до площини другої.
Твірними зрізаного конуса є відрізки твірних поданого конуса, обмежені площинами основ зрізаного конуса.
Зрізаний конус є тілом, яке утворено в результаті обертання прямокутної трапеції навколо меншої бічної сторони. Більша сторона трапеції є твірною зрізаного конуса. Пряма, яка проходить через центри основ зрізаного конуса, є його віссю.
Осьовим перерізом зрізаного конуса називають переріз площиною, яка проходить через його вісь.

Властивості зрізаного конуса: твірні зрізаного конуса рівні; осьовим перерізом зрізаного конуса є рівнобічна трапеція; бічні сторони даної трапеції — твірні; основи трапеції — діаметри основ зрізаного конуса.  Умовні позначення: h - висота зрізаного конуса і трапеції відповідно; R, r - радіуси верхньої та нижньої основ конуса, відповідно; L - твірна зрізаного конуса; OO1 - вісь.

переріз конуса площинами

Виконати вправу

Вправа. Опрацювати теоретичний матеріал.

Переріз конуса площинами

Переріз конуса площиною, що проходить через його вершину, представляє собою рівнобедрений трикутник, у якого бокові сторони є твірними конуса (рис. 41). Зокрема, рівнобедреним трикутником є осьовий переріз конуса. Це переріз, що проходить через вісь конуса (рис. 42).

Рис. 41	Рис. 42

Теорема 2.2. Площина, паралельна площині основи конуса, перетинає конус по колу, а бокову поверхню —  по окружності із центром на осі конуса.

Доведення. Нехай  — площина, що паралельна площини основи конуса й перетинає конус (рис. 43). Перетворення гомотетії відносно вершини конуса, що сполучає площина  із площиною основи, сполучає переріз конуса площиною  з основою конуса. Отже, переріз конуса площиною є коло, а переріз бокової поверхні — окружність із центром на осі конуса. Теорема доведена.

Рис. 43	Рис. 44

конус

Вправа. Переглянути теоретичний матеріал.

Конус

Рис. 38

Конусом (рис. 38) (точніше, круговим конусом) називається тіло, що складається з кола — основи конуса, точки, що не лежить у площині цього кола,— вершини конуса й всіх відрізків, що з'єднують вершину конуса із точками основи (рис. 39). Відрізки, що з'єднують вершину конуса із точками окружності основи, називаються твірними конуса. Поверхня конуса складається з основи й бокової поверхні.

Конус називається прямим, якщо пряма, що з'єднує вершину конуса із центром основи, перпендикулярна площині основи. Надалі ми будемо розглядати тільки прямий конус, називаючи його для стислості просто конусом. Наглядно прямий круговий конус можна уявляти собі як тіло, отримане при обертанні прямокутного трикутника навколо його катета як осі (рис. 40).

Рис. 39	Рис. 40

Висотою конуса називається перпендикуляр, що опущений з його вершини на площину основи. У прямого конуса основа висоти збігається із центром основи.Віссю прямого кругового конуса називається пряма, що містить його висоту.

Вправа. Переглянути презентацію.

Вправа. Розв'язати задачу.

 Висота конуса дорівнює 9 см, а його твірна — 11 см. Знайти радіус основи конуса. Ілюстрація

Виконати вправу

правильна піраміда

Виконати вправу

переріз циліндра площинами

Вправа. Орацювати теоретичний матеріал.

Переріз циліндра площинами

Переріз циліндра площиною, паралельною його осі, представляє собою прямокутник (рис. 32). Дві його сторони — твірні циліндра, а дві інші — паралельні хорди основ. Зокрема, прямокутником є осьовий переріз. Це — переріз циліндра площиною, що проходить через його вісь(рис. 33).

Рис. 32	Рис. 33

Теорема 2.1.  Площина, що паралельна площині основи циліндра, перетинає його бокову поверхню по окружності,  яка дорівнює окружності основи.

Рис. 34

Доведення. Нехай  — площина, яка паралельна площині основи циліндра (рис. 34). Паралельний перенос у напрямку осі циліндра, що сполучає площину  із площиною основи циліндра, сполучає січення бокової поверхні площиною  з окружністю основи. Теорема доведена.

циліндр

вправа. Переглянути теоретичний матеріал.Циліндр

Циліндром (точніше, круговим циліндром) називається тіло, що складається із двох кіл, що не лежать в одній площині й сполучаються  паралельним переносом, і всіх відрізків, що з'єднують відповідні точки цих кіл (рис. 30). Кола називаються основами циліндра, а відрізки, що з'єднують відповідні точки окружностей кіл, — твірними циліндра.

Рис. 30	Рис. 31

Так як паралельний перенос це рух, то основи циліндра рівні. Так як при паралельному переносі площина переходить у паралельну площину (або в себе), то у циліндра основи лежать у паралельних площинах.

Так як при паралельному переносі точки зміщуються по паралельним (або співпадаючим) прямим на одну ту ж саму відстань, то в циліндра твірні паралельні й рівні.

Поверхня циліндра складається з основ і бічної поверхні. Бічна  поверхня складена з твірних.

Циліндр називається прямим, якщо його твірні перпендикулярні площинам основ.

Надалі ми будемо розглядати тільки прямий циліндр, називаючи його для стислості просто циліндром. Прямий циліндр наглядно можна уявити собі як тіло, що описує прямокутник при обертанні його біля сторони як осі (рис. 31)

Радіусом циліндра називається радіус його основ. Висотою циліндраназивається відстань між площинами його основ. Віссю циліндра називається пряма, що проходить через центри основ. Вона паралельна твірним.

Вправа. Переглянути презентацію

Виконати вправу

піраміда

Піраміда

Піраміда – многогранник, одна грань (основа) якого n - кутник, а інші n граней (бічні грані) – трикутники, що мають спільну вершину.
Для піраміди

S = S_біч. + S_осн.;
V = (1/3)•S_осн.•H.

Піраміда, в основі якої лежить правильний многокутник, центр якого збігається з основою висоти піраміди, називаєтьсяправильною.
Висота бічної грані правильної піраміди, проведеної із вершини піраміди, називається її апофемою (l).

На рисунку зображено правильну чотирикутну піраміду, у якої EF = l - апофема, OE = H - висота, кут EFO = φ - кут між бічною гранню BEC і основою ABCD. Для правильної піраміди: Sосн. = Sбіч.•cos φ; Sбіч. = (1/2)•Pосн.•l.

Вправа. Пройти тест

правильні многогранники

Вправа. Переглянути презентацію

Вправа. Виконати вправу.

Переглянути відео

призма

Призма

Вправа. Переглянути матеріал.

Призма

.Призма – многогранник, дві паралельні грані (основи) якого рівні n - кутники, а інші n граней (бічні грані) – паралелограми.

S = S_біч. + 2S_осн.;
V = S_осн.•H;
S_біч. = P_┴•L;
V = S_┴•L.

На рисунку зображено трикутну призму, в якій трикутник ABC – перпендикулярний переріз.

Призма, в якій бічні ребра перпендикулярні до основи, називається прямою.
Для прямої призми S_біч. = P_осн.•H. 
Пряма призма, в основі якої лежить правильний многокутник, називається правильною.

Правила зображення призми

1. Зобразити одну з основ призми.
2. Зобразити бічні ребра призми у вигляді паралельних рівних відрізків (у випадку прямої призми – вертикальних рівних відрізків).
3. Послідовно сполучити вільні кінці цих відрізків.

Зауваження

1. Невидимі ребра призми зображають пунктирними лініями.
2. Висоту похилої призми зображають у вигляді вертикального відрізка.

Вправа. Розв'язати задачу В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник із гіпотенузою 20 см і катетом 16 см. Знайти довжину діагоналі грані призми, що містить менший катет трикутника, якщо висота призми дорівнює 5 см.

Розв’язання. 1) Нехай АВСА₁В₁С₁ - трикутна призма, що задана в умові; C = 90°, АВ = 20 см; ВС = 16 см; СС₁ = 5 см.

2) В ∆АВС: 

3) Отже АС < ВС, а тому необхідно знайти діагональ бічної грані, що містить АС, тобто довжину відрізка АС₁.

4) В ∆АСС₁: 

многогранники

Многогранники

Многогранник — це геометричне тіло, поверхня якого складається із скінченого числа плоских многокутників.

Гранями многогранника називаються частини площин (многокутники), які обмежують многогранник.

Ребрами многогранника називаються спільні сторони суміжних граней (многокутників).

Вершинами многогранника називаються вершини многогранних кутів, утворених його гранями, що сходяться в одній точці.

Діагоналлю многогранника називається відрізок прямої, яка сполучає дві вершини многогранника, що не лежать в одній грані.

Діагональною площиною многогранника називається площина, що проходить через три вершини многогранника, які не лежать в одній грані.

Перерізом многогранника площиною називається частина цієї площини, яка обмежена лінією перетину поверхні многогранника з цією площиною.

Многогранник називається опуклим, якщо він цілком лежить по одну сторону від площини будь-якої його грані. Гранями опуклого многогранника можуть бути тільки опуклі многокутники.

Позначення:

S - площа поверхні;
S_біч. - площа бічної поверхні;
S_осн. - площа основи;
P_осн. - периметр основи;
P_┴ - периметр перпендикулярного перерізу;
S_┴ - площа перпендикулярного перерізу;
L - довжина бічного ребра (твірної);
H - висота;
V - об’єм.

Переглянути презентацію